线性代数里，向量组有个核心概念是线性相关性，然而它常常会跟其他知识点相互交织，致使考生在理解它以及解题的时候，产生困惑。

线性相关性的核心内涵

存在一组不全为零的数，使得向量组经过线性组合后能够获得零向量，此情况被称作线性相关，这一定义跟齐次线性方程组有着直接的关联，当齐次方程组的系数矩阵列向量组呈现出线性相关的状态的时候，那么该齐次方程组必定会存在非零解，而理解这一点是在向量与方程组两个章节知识之间建立打通关系（即关键之处）的情况呀。

实际情形里，判定相关性的惯常办法涵盖借助秩、行列式或者定义自身。举例来讲，针对于n个n维向量，能够经由算得以它们作为列所构造矩阵的行列式来判定。若行列式为零，那么向量组呈现线性相关。此方法跟克莱姆法则构建起了知识闭环回路 ，这一方法即为向量组整体相关性判断的一种有效方式 ，它在实际应用中有着重要的意义 。

与线性表出的紧密联系

对于一个向量而言其能不能由某向量组进行线性表出，这和对应的非齐次线性方程组有没有解是等价的。需要注意的是，在判定表出问题的时候常常要构造增广矩阵，并且要借助初等行变换去比较系数矩阵与增广矩阵的秩。而这种判定是解决后续综合题的基础。

在证明题里头，常常会把线性表出同相关性一块儿结合起来考查。比如说，要是向量组呈现出线性无关的状态，然而在添加了一个向量之后就变得相关了，那么这个新添加的向量必定是能够由原先的向量组通过线性表出的。这就要求考生必须能够灵活地去运用定义从而展开严谨的推理。

向量组的秩与极大无关组

向量组的秩，乃是其极大线性无关组当中所含向量的数量。能够求极大无关组的通用办法是初等行变换法，把向量组依据列去构成矩阵，将其化为行最简形矩阵，首非零元所在列所对应的原向量便构成一个极大相关组。秩是用于刻画向量组“信息容量”的核心指标。

围绕秩展开的证明题目属于考研之际的难点状况，常常会关联到不等式情形，像是矩阵相互乘积之后获得的秩不会超出各个因子矩阵所具有的秩这般。此类证明之举需要熟练地把控秩对应着的基本性质，并且能够结合向量组呈现的线性表示背景来予以分析。

特征值与特征向量的概念与计算

涉及矩阵对角化的研究，其基石是特质的值以及特质的向量。拿数值矩阵来说，计算特征值，实则是去求解特征方程|λE - A| = 0所对应的根。针对任一的上述根λ，借助解齐次方程组(λE - A)x = 0，进而获取与之对应的特征向量。而基础解系所含的向量，即是属于特征值λ的线性呈无关状态的特征向量。

相比于具体矩阵，抽象矩阵的、更加侧重于性质应用的特征值问题，比如说，要是知道可推知矩阵A的多项式或者、逆矩阵特征值的此矩阵A的特征值，这类题目、那是要求考生深刻理解特征值定义的，而并非机械计算、的呀。

矩阵的相似对角化

矩阵能不能相似对角化，要看它有没有n个线性无关的特征向量。有两个充要条件：其一，矩阵是n阶的并且有n个线性无关的特征向量；其二，每个k重特征值正好对应k个线性无关的特征向量。判断的时候，对于重根得检查它的几何重数是不是等于代数重数。

相似对角化可把复杂的矩阵幂运算，或者函数运算，转变为对角矩阵的简单运算，这是考研大题里的常见考点，解题步骤是固定的，然而计算量比较大，要求考生细心且准确。

实对称矩阵的特殊性质

具有实对称特性的矩阵必然能够通过正交相似的方式达成对角化，这所表达的意思是，不但存在着可逆矩阵P能够让其实现对角化，而且还存在着正交矩阵Q（此正交矩阵Q满足Q的转置等于Q的逆）来达成对角化，这一性质在诸如二次型标准化等相关问题当中占据着至关重要的地位。

普通对应的试题常常要求算出正交变换矩阵，解题的流程是，首先求特征值，接着针对每一个特征值求特征向量，并且对重根特征值所对应的特征向量开展施密特正交化，最终把所有单位化之后的特征向量组合成正交矩阵，这一过程综合性程度高，计算的步骤紧密相连。

当您于复习线性代数之际，认为向量组的线性相关性跟方程组的解这两个概念，哪一个于实际解题之时更易于变成您的思维瓶颈呢？欢迎在评论区展开您的看法分享，要是觉得本文存有帮助，同样请点赞予以支持。